Prueba de Geometría Tipo Icfes

Pregunta 1

Una fotografía rectangular mide 10 cm de ancho por 15 cm de alto. Se quiere ampliar la fotografía de tal manera que el nuevo ancho sea de 20 cm, manteniendo la misma proporción.

¿Cuál será el área de la fotografía ampliada?

A. 300 cm², que es el doble del área original. B. 100 cm, que corresponde al perímetro de la foto ampliada. C. 600 cm², ya que si se duplica una dimensión, se duplica la otra, y el área se cuadruplica. D. 450 cm², resultado de multiplicar el nuevo ancho por la altura original.

Explicación de las opciones:

A. Contraria: El área no escala de forma lineal. Si las dimensiones se duplican, el área no se duplica, sino que se multiplica por el factor de escala al cuadrado (2²=4). El área original es 150 cm², y el doble sería 300 cm², lo cual es incorrecto.

B. Absurda: El perímetro se mide en cm, no en cm², y su valor (2*20 + 2*30 = 100 cm) no responde a la pregunta sobre el área. Mezcla conceptos y unidades de forma absurda.

C. Respuesta Correcta: Si el ancho se duplica (de 10 a 20 cm), la altura también debe duplicarse para mantener la proporción (de 15 a 30 cm). El área nueva es 20 cm * 30 cm = 600 cm². Esto es 4 veces el área original (150 cm²), como se espera.

D. Contradictoria: Este cálculo (20 cm * 15 cm) ignora que la altura también debe cambiar para mantener la proporción. Contradice el requisito de proporcionalidad del problema.

Pregunta 2

Se tiene un tanque de agua con forma de cono invertido. El radio de la base es de 3 metros y su altura es de 5 metros. Se necesita saber la capacidad máxima del tanque.

¿Cuál es el volumen del tanque cónico? (Use π ≈ 3.14)

A. 141.3 m³, que es el volumen de un cilindro con las mismas dimensiones. B. 47.1 m³, calculado con la fórmula del volumen de un cono V = (1/3)πr²h. C. 75.36 m², que corresponde al área de la superficie lateral del cono. D. 45 m³, resultado de multiplicar la base por la altura y el radio.

A. Contraria: Calcular el volumen de un cilindro (V = πr²h) es usar una fórmula incorrecta para la forma del objeto. El volumen de un cono es exactamente un tercio del de un cilindro con la misma base y altura.

B. Respuesta Correcta: La fórmula correcta es V = (1/3) * π * r² * h. Reemplazando: V ≈ (1/3) * 3.14 * (3m)² * 5m = (1/3) * 3.14 * 9m² * 5m = 47.1 m³.

C. Contradictoria: Esta opción calcula el área superficial, que mide la cantidad de material para construir el tanque, no su capacidad (volumen). Además, la unidad (m²) es incorrecta.

D. Absurda: Multiplicar las dimensiones de esa manera no corresponde a ninguna fórmula geométrica conocida. Es una operación sin sentido.

Pregunta 3

Un poste vertical de 12 metros de altura proyecta una sombra de 9 metros sobre el suelo horizontal. Un pájaro vuela en línea recta desde la punta del poste hasta el final de la sombra.

¿Qué distancia recorrió el pájaro?

A. 21 metros, que es la suma de la altura y la sombra. B. 15 metros, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado, calculada con el Teorema de Pitágoras. C. 108 m², que corresponde al área del triángulo formado. D. 3 metros, que es la diferencia entre la altura y la sombra.

A. Absurda: Sumar los catetos de un triángulo rectángulo no da la longitud de la hipotenusa. La distancia más corta entre dos puntos es una recta, no un recorrido en «L».

B. Respuesta Correcta: El poste, la sombra y la trayectoria del pájaro forman un triángulo rectángulo. La distancia recorrida es la hipotenusa (c). Usando Pitágoras: c² = a² + b² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. Por lo tanto, c = √225 = 15 metros.

C. Contraria: Esta opción calcula el área (A = (base * altura)/2), pero la pregunta pide una distancia, no una superficie. Es un concepto diferente.

D. Absurda: Restar las longitudes de los catetos no tiene ningún significado geométrico en este contexto para hallar la hipotenusa.

Pregunta 4

Una caja cúbica tiene un volumen de 64 cm³. Se quiere saber cuánto cartón se necesita para construir la caja, sin contar solapas ni superposiciones.

¿Cuál es el área de superficie total de la caja?

A. 16 cm², que es el área de una sola cara. B. 64 cm², confundiendo el valor del volumen con el del área. C. 96 cm², calculado a partir de la arista del cubo. D. 24 cm, que corresponde a la suma de las aristas de una cara.

A. Contradictoria: 16 cm² es el área de una sola cara (Lado = ∛64 = 4; Área cara = 4² = 16). La pregunta pide el área total para construir la caja completa, que tiene 6 caras. Contradice el objetivo de la pregunta.

B. Absurda: Confundir volumen (en cm³) con área (en cm²) es un error conceptual grave, aunque los números coincidan.

C. Respuesta Correcta: Primero, se halla el lado (arista) del cubo: L = ∛Volumen = ∛64 cm³ = 4 cm. Luego, el área de una cara es L² = 4² = 16 cm². Como un cubo tiene 6 caras iguales, el área total es 6 * 16 cm² = 96 cm².

D. Contraria: Esto calcula una longitud (perímetro de una cara), no un área. El concepto y la unidad son incorrectos.

Pregunta 5

Un terreno tiene la forma de un trapecio isósceles. Sus bases miden 40 m y 60 m, y su altura es de 15 m.

¿Cuál es el área del terreno?

A. 1500 m², resultado de multiplicar las tres medidas dadas. B. 750 m², aplicando la fórmula del área de un trapecio. C. 900 m², que sería el área si se tomara solo la base mayor como en un rectángulo. D. 115 m, que es la suma de las medidas dadas.

A. Absurda: Multiplicar las tres dimensiones (40 * 60 * 15) no corresponde a ninguna fórmula de área y da un resultado desproporcionado.

B. Respuesta Correcta: El área de un trapecio es A = ((Base mayor + Base menor) / 2) * Altura. Reemplazando: A = ((60m + 40m) / 2) * 15m = (100m / 2) * 15m = 50m * 15m = 750 m².

C. Contraria: Este cálculo (60m * 15m) ignora la base menor, tratando la figura como un rectángulo, lo cual es incorrecto para un trapecio.

D. Absurda: Sumar las medidas (40+60+15) mezcla longitudes de bases con altura y da una longitud, no un área. Las unidades y el concepto son incorrectos.

Pregunta 6

Un arquitecto diseña una piscina con forma de ortoedro (caja rectangular) que mide 10 m de largo, 5 m de ancho y 2 m de profundidad.

Si se quiere llenar la piscina hasta el borde, ¿cuántos metros cúbicos de agua se necesitan?

A. 100 m³, que corresponde al volumen de la piscina. B. 17 m, que es la suma de sus dimensiones. C. 130 m², que corresponde al área de las paredes y el fondo. D. 50 m², que es el área del fondo de la piscina.

A. Respuesta Correcta: El volumen de un ortoedro (caja rectangular) se calcula multiplicando sus tres dimensiones: V = Largo * Ancho * Profundidad = 10m * 5m * 2m = 100 m³.

B. Absurda: Sumar las tres dimensiones no tiene ningún significado geométrico para el volumen. El resultado es una longitud, no una capacidad.

C. Contraria: Este cálculo corresponde al área de la superficie que se pintaría (fondo + 4 paredes), pero no a su capacidad. Responde a una pregunta diferente (¿cuánta pintura se necesita?).

D. Contradictoria: Calcular solo el área del fondo (10m * 5m) ignora la profundidad, que es esencial para determinar el volumen. Contradice la naturaleza tridimensional del problema.

Pregunta 7

Un silo de almacenamiento de grano está formado por un cilindro de 10 m de altura y 4 m de radio, rematado por una semiesfera con el mismo radio.

¿Cuál es el volumen total de almacenamiento del silo? (Use π ≈ 3.14)

A. 502.4 m³, que es solo el volumen de la parte cilíndrica. B. 636.17 m³, que es la suma del volumen del cilindro y el de la semiesfera. C. 267.9 m³, que es el volumen de una esfera completa. D. 140 m³, resultado de una operación sin sentido geométrico.

A. Contradictoria: Calcular solo el volumen del cilindro (V = πr²h) ignora la parte semiesférica del silo, contradiciendo la descripción completa del objeto.

B. Respuesta Correcta: Se deben sumar ambos volúmenes. V(cilindro) = π * (4m)² * 10m ≈ 502.4 m³. V(semiesfera) = (1/2) * (4/3) * π * (4m)³ ≈ 133.77 m³. Suma total ≈ 502.4 + 133.77 = 636.17 m³.

C. Contraria: Calcular el volumen de una esfera completa es incorrecto, ya que el silo solo tiene una semiesfera en la parte superior.

D. Absurda: No hay una operación lógica que dé este resultado. Parece una combinación aleatoria de los números del problema.

Pregunta 8

El limpiaparabrisas de un coche tiene una cuchilla de 50 cm de largo que pivota desde un extremo. Al moverse, barre un sector circular con un ángulo de 120°.

¿Cuál es el área de la superficie que limpia la cuchilla en cada barrido? (Use π ≈ 3)

A. 7500 cm², que sería el área de un círculo completo. B. 2500 cm², que corresponde al área de la porción o sector circular. C. 100 cm, que es la longitud del arco barrido. D. 6000 cm², resultado de multiplicar el ángulo por el largo.

A. Contraria: Calcular el área del círculo completo (A = πr² ≈ 3 * 50² = 7500) ignora el hecho de que el limpiaparabrisas solo barre una fracción (120°) del círculo.

B. Respuesta Correcta: El área de un sector circular es (θ/360°) * πr². Área ≈ (120°/360°) * 3 * (50cm)² = (1/3) * 3 * 2500 cm² = 2500 cm².

C. Contradictoria: Esta opción calcula la longitud del arco, que es una medida de distancia (en cm), no de área (en cm²). Contradice la pregunta.

D. Absurda: Multiplicar el ángulo por el radio no es una fórmula geométrica válida para calcular el área y es una operación sin sentido.

Pregunta 9

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales de 10 cm cada uno, y el ángulo entre ellos es de 120°.

¿Qué se puede afirmar sobre los otros dos ángulos del triángulo?

A. Miden 60° cada uno, haciendo que el triángulo sea equilátero. B. Miden 30° cada uno, ya que son los ángulos opuestos a los lados iguales y la suma total debe ser 180°. C. Miden 120° y 60°, respectivamente. D. No se pueden determinar sin conocer la longitud del tercer lado.

A. Contraria: Si los otros dos ángulos midieran 60°, el triángulo sería equilátero, pero se nos da un ángulo de 120°, lo que lo hace imposible. La suma sería 120+60+60 = 240°, lo cual contradice la propiedad de los triángulos.

B. Respuesta Correcta: La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Si uno mide 120°, quedan 180°-120° = 60° para repartir entre los otros dos. Como el triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por lo tanto, cada uno mide 60°/2 = 30°.

C. Absurda: La suma de los ángulos (120+120+60) sería de 300°, lo cual es geométricamente absurdo para un triángulo.

D. Contradictoria: Los ángulos de un triángulo se pueden determinar si se conocen dos de ellos, o si se conocen ciertas propiedades como la isoceles. No es necesario conocer todos los lados. Contradice los teoremas básicos de la geometría.

Pregunta 10

En un plano cartesiano, un punto P está en las coordenadas (3, 4). Se le aplica una reflexión sobre el eje Y.

¿Cuáles serán las nuevas coordenadas del punto P’?

A. (3, -4), que corresponde a una reflexión sobre el eje X. B. (-3, 4), ya que la reflexión sobre el eje Y invierte el signo de la coordenada x. C. (-3, -4), que corresponde a una rotación de 180° alrededor del origen. D. (4, 3), que es una inversión de las coordenadas.

A. Contraria: Esta es la transformación correcta para una reflexión sobre el *otro* eje (el eje X). Es lo contrario a lo que se pide.

B. Respuesta Correcta: Al reflejar un punto sobre el eje Y, su distancia vertical (coordenada y) se mantiene, pero su posición horizontal (coordenada x) se invierte respecto al eje. Por lo tanto, x se convierte en -x.

C. Contradictoria: Invertir ambos signos corresponde a una reflexión sobre el origen o una rotación de 180°. Es una transformación diferente a la reflexión sobre el eje Y.

D. Absurda: Intercambiar las coordenadas (x,y) por (y,x) corresponde a una reflexión sobre la línea y=x. Es una operación sin relación con la reflexión sobre el eje Y.

Pregunta 11

Se tiene una pirámide de base cuadrada. El lado de la base mide 6 cm y la altura de la pirámide (la distancia perpendicular desde el vértice hasta el centro de la base) es de 10 cm.

¿Cuál es el volumen de la pirámide?

A. 360 cm³, que es el volumen de un prisma con la misma base y altura. B. 120 cm³, calculado con la fórmula del volumen de una pirámide. C. 60 cm³, que es la mitad del volumen correcto. D. 36 cm², que es el área de la base.

A. Contraria: El volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y altura. Calcular el volumen del prisma (Área base * altura = 36 * 10 = 360) es usar la fórmula equivocada.

B. Respuesta Correcta: La fórmula es V = (1/3) * Área de la base * Altura. El área de la base cuadrada es 6cm * 6cm = 36 cm². V = (1/3) * 36 cm² * 10 cm = 12 * 10 = 120 cm³.

C. Absurda: Dividir por 2 en lugar de 3 no corresponde a ninguna fórmula estándar de volumen para esta figura. Es un error de cálculo sin base geométrica.

D. Contradictoria: El área de la base es un paso necesario para el cálculo, pero no es la respuesta final. Presentarlo como el volumen contradice la naturaleza tridimensional de la pregunta.

Pregunta 12

Dos líneas paralelas, L1 y L2, son cortadas por una tercera línea transversal, T. El ángulo formado por la intersección de L1 y T es de 45°.

¿Cuánto mide el ángulo alterno interno correspondiente?

A. 135°, que es el ángulo suplementario. B. 45°, por la propiedad de los ángulos alternos internos entre paralelas. C. 90°, asumiendo que la transversal es perpendicular. D. No se puede saber, la información es insuficiente.

A. Contraria: 135° es el valor de los ángulos adyacentes al de 45°, que suman 180°. No es el valor del alterno interno.

B. Respuesta Correcta: Un teorema fundamental de la geometría euclidiana establece que cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son congruentes (miden lo mismo).

C. Contradictoria: Para que los ángulos midieran 90°, la transversal debería ser perpendicular. El problema establece que el ángulo es de 45°, lo que contradice esta suposición.

D. Absurda: La información es precisamente la necesaria y suficiente para aplicar el teorema de los ángulos alternos internos. Afirmar que es insuficiente es desconocer este principio básico.

Pregunta 13

Un globo esférico se infla de modo que su radio se triplica, pasando de 2 cm a 6 cm.

¿Cuántas veces aumentó su volumen?

A. 3 veces, ya que el radio se triplicó. B. 9 veces, que es el cuadrado del factor de escala. C. 27 veces, ya que el volumen escala con el cubo del factor de escala. D. 6 veces, que es la suma de los radios.

A. Contraria: El volumen no escala linealmente con el radio. Este es un error común de razonamiento proporcional.

B. Contradictoria: El factor de escala al cuadrado (3² = 9) se aplica al área de superficie, no al volumen. Contradice la pregunta sobre la capacidad del globo.

C. Respuesta Correcta: El volumen de una esfera depende de r³. Si el radio se multiplica por un factor k (en este caso, 3), el volumen se multiplica por k³. Por lo tanto, el volumen aumenta 3³ = 27 veces.

D. Absurda: Sumar los radios no tiene relación con el factor de aumento del volumen. Es un cálculo sin sentido.

Pregunta 14

Se necesita encontrar el punto medio del segmento de línea que une los puntos A(-2, 8) y B(6, 4) en un plano cartesiano.

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?

A. (4, 12), que es la suma de las coordenadas. B. (8, -4), que es la diferencia entre las coordenadas. C. (2, 6), aplicando la fórmula del punto medio. D. (4, 6), promediando incorrectamente la coordenada x.

A. Absurda: Sumar las coordenadas correspondientes no da el punto medio. Es una operación sin fundamento geométrico.

B. Absurda: Restar las coordenadas tampoco da el punto medio. Esta operación se usa para encontrar el vector entre los puntos, no su centro.

C. Respuesta Correcta: La fórmula del punto medio es ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Aplicando: ((-2+6)/2, (8+4)/2) = (4/2, 12/2) = (2, 6).

D. Contraria: Esta opción calcula correctamente la coordenada y del punto medio (6), pero falla en la coordenada x. Es un error de cálculo común al no manejar bien los signos negativos.

Pregunta 15

Un hexágono regular tiene un lado de 10 cm. Se sabe que un hexágono regular puede descomponerse en 6 triángulos equiláteros idénticos. (Altura de un triángulo equilátero de lado L ≈ L * 0.866).

¿Cuál es el área aproximada del hexágono?

A. 60 cm², que sería el perímetro del hexágono. B. 259.8 cm², que es 6 veces el área de uno de los triángulos equiláteros. C. 43.3 cm², que es el área de uno solo de los triángulos. D. 300 cm², como si cada triángulo tuviera un área de 50 cm².

A. Contraria: El perímetro es la suma de los lados (6 * 10 = 60 cm). La pregunta pide el área, una medida de superficie (cm²), no una longitud (cm).

B. Respuesta Correcta: Primero se calcula el área de un triángulo equilátero: A = (base * altura)/2. Altura ≈ 10 * 0.866 = 8.66 cm. Área_triángulo ≈ (10 * 8.66) / 2 = 43.3 cm². Como el hexágono tiene 6 de estos triángulos, el área total es 6 * 43.3 cm² ≈ 259.8 cm².

C. Contradictoria: Esta opción solo calcula el área de una de las seis partes que componen el hexágono. Contradice el objetivo de hallar el área total.

D. Absurda: Este cálculo asume un área de 50 para cada triángulo (base*lado/2 = 10*10/2), ignorando que se debe usar la altura perpendicular, no el otro lado. Es una aplicación incorrecta de la fórmula de área.

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