Geometría analítica – idea-Tec Educación

Cuestionario sobre Geografía Analítica

La geometría analítica es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y los métodos del álgebra y el análisis matemático. Permite representar figuras mediante ecuaciones y obtener información geométrica a partir de ellas. Este cuestionario explorará conceptos fundamentales como puntos, rectas, distancias, pendientes y las ecuaciones de las cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola).

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(4, 6)?

A) 3 B) 4 C) 5 D) √7

Explicación de la respuesta correcta (C): d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2, -1) y Q(5, 5)?

A) 2 B) -2 C) 1/2 D) 3

Explicación de la respuesta correcta (A): m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (5 - (-1)) / (5 - 2) = (5 + 1) / 3 = 6 / 3 = 2.

3. La ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es:

A) (x + h)² + (y + k)² = r² B) (x - h)² + (y - k)² = r C) x² + y² = r² D) (x - h)² + (y - k)² = r²

Explicación de la respuesta correcta (D): Es la forma estándar de la ecuación de una circunferencia.

4. ¿Cuál es el centro de la circunferencia (x - 3)² + (y + 2)² = 16?

A) (-3, 2) B) (3, -2) C) (3, 2) D) (-3, -2)

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma (x-h)² + (y-k)² = r², el centro es (h,k). Aquí h=3 y k=-2.

5. La pendiente de una recta horizontal es:

A) 1 B) 0 C) Indefinida D) -1

Explicación de la respuesta correcta (B): Una recta horizontal no tiene inclinación, por lo que su pendiente es 0.

6. ¿Cuál es el punto medio del segmento con extremos A(-2, 5) y B(4, 1)?

A) (2, 6) B) (1, 3) C) (6, -4) D) (3, 2)

Explicación de la respuesta correcta (B): M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 ) = ( (-2+4)/2 , (5+1)/2 ) = ( 2/2 , 6/2 ) = (1, 3).

7. La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y que se abre hacia arriba es:

A) (y - k)² = 4p(x - h) B) (x - h)² = 4p(y - k) C) x² / a² + y² / b² = 1 D) (x - h)² = -4p(y - k)

Explicación de la respuesta correcta (B): Para una parábola que se abre verticalmente, el término cuadrático es x. Si 4p es positivo, se abre hacia arriba.

8. Si dos rectas son perpendiculares y ninguna es vertical, el producto de sus pendientes es:

A) 0 B) 1 C) Indefinido D) -1

Explicación de la respuesta correcta (D): Si m₁ y m₂ son las pendientes de dos rectas perpendiculares, entonces m₁ * m₂ = -1 (o una es la recíproca negativa de la otra).

9. ¿Cuál es el radio de la circunferencia x² + y² = 25?

A) 25 B) √5 C) 5 D) 12.5

Explicación de la respuesta correcta (C): La ecuación es de la forma x² + y² = r². Por lo tanto, r² = 25, y r = √25 = 5.

10. La pendiente de una recta vertical es:

A) 0 B) 1 C) Indefinida D) -1

Explicación de la respuesta correcta (C): Una recta vertical tiene un cambio en x igual a cero, lo que llevaría a una división por cero en la fórmula de la pendiente, por eso es indefinida.

11. La ecuación de la recta y = 3x - 5 está en forma:

A) General B) Punto-pendiente C) Canónica o simétrica D) Pendiente-ordenada al origen

Explicación de la respuesta correcta (D): La forma y = mx + b se conoce como pendiente-ordenada al origen, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

12. El vértice de la parábola y = x² - 4x + 7 es:

A) (2, 3) B) (-2, 19) C) (4, 7) D) (0, 7)

Explicación de la respuesta correcta (A): La coordenada x del vértice es -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. La coordenada y es y(2) = 2² - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3. Vértice (2, 3).

13. Dos rectas son paralelas si y solo si:

A) Sus pendientes son recíprocas negativas. B) El producto de sus pendientes es 1. C) Tienen la misma ordenada al origen. D) Tienen la misma pendiente y diferentes ordenadas al origen.

Explicación de la respuesta correcta (D): Las rectas paralelas tienen la misma inclinación (pendiente) pero no son la misma recta (diferente ordenada al origen).

14. ¿Cuál es la ecuación de una elipse con centro en el origen, eje mayor horizontal de longitud 10 y eje menor de longitud 6?

A) x²/25 + y²/9 = 1 B) x²/9 + y²/25 = 1 C) x²/100 + y²/36 = 1 D) x²/10 + y²/6 = 1

Explicación de la respuesta correcta (A): Si el eje mayor es horizontal, 2a = 10 => a = 5 => a² = 25. El eje menor 2b = 6 => b = 3 => b² = 9. La ecuación es x²/a² + y²/b² = 1.

15. La ordenada al origen (intersección con el eje Y) de la recta 2x + 3y - 6 = 0 es:

A) 3 B) -2 C) 2 D) 6

Explicación de la respuesta correcta (C): Hacemos x=0: 2(0) + 3y - 6 = 0 => 3y = 6 => y = 2.

16. Una hipérbola tiene dos ramas y dos líneas a las que las ramas se aproximan infinitamente, llamadas:

A) Directrices B) Focos C) Ejes D) Asíntotas

Explicación de la respuesta correcta (D): Las asíntotas son líneas rectas a las cuales la gráfica de una función se acerca indefinidamente.

17. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (0,0) y (2,4)?

A) y = x + 2 B) y = 2x C) y = 4x - 4 D) y = x/2

Explicación de la respuesta correcta (B): Pendiente m = (4-0)/(2-0) = 4/2 = 2. Como pasa por (0,0), la ordenada al origen b=0. Ecuación: y = 2x.

18. El foco de la parábola y² = 8x se encuentra en:

A) (8, 0) B) (0, 2) C) (2, 0) D) (0, 8)

Explicación de la respuesta correcta (C): La ecuación es de la forma y² = 4px. Aquí 4p = 8, entonces p = 2. Como se abre hacia la derecha, el foco está en (p, 0) = (2, 0).

19. La distancia del centro a cualquiera de los vértices en una elipse se llama:

A) Semieje menor (b) B) Distancia focal (c) C) Semieje mayor (a) D) Lado recto

Explicación de la respuesta correcta (C): 'a' representa la distancia del centro a un vértice sobre el eje mayor.

20. ¿Cuál es la ecuación general de una recta?

A) y = mx + b B) Ax + By + C = 0 C) (x - x₁)/a = (y - y₁)/b D) y - y₁ = m(x - x₁)

Explicación de la respuesta correcta (B): La forma Ax + By + C = 0 es la ecuación general de una recta.

21. ¿Cuál es la distancia del punto (3, 4) al origen (0, 0)?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 5

Explicación de la respuesta correcta (D): d = √((3-0)² + (4-0)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

22. La pendiente de la recta 3x - 2y + 6 = 0 es:

A) 3/2 B) -3/2 C) 2/3 D) -2/3

Explicación de la respuesta correcta (A): Despejando y: -2y = -3x - 6 => 2y = 3x + 6 => y = (3/2)x + 3. La pendiente es 3/2.

23. Una circunferencia con centro en (-1, 4) y radio 3 tiene por ecuación:

A) (x - 1)² + (y + 4)² = 9 B) (x + 1)² + (y - 4)² = 3 C) (x + 1)² + (y - 4)² = 9 D) (x - 1)² + (y + 4)² = 3

Explicación de la respuesta correcta (C): Usando (x-h)² + (y-k)² = r², con h=-1, k=4, r=3. (x - (-1))² + (y - 4)² = 3² => (x + 1)² + (y - 4)² = 9.

24. ¿Hacia dónde se abre la parábola x² = -12y?

A) Hacia arriba B) Hacia abajo C) Hacia la derecha D) Hacia la izquierda

Explicación de la respuesta correcta (B): La forma es x² = 4py. Como el coeficiente de 'y' es negativo (-12), y x está al cuadrado, se abre hacia abajo. (4p = -12 => p = -3).

25. El lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante, es una:

A) Circunferencia B) Parábola C) Elipse D) Hipérbola

Explicación de la respuesta correcta (C): Esta es la definición geométrica de una elipse.

26. Las coordenadas del origen en el plano cartesiano son:

A) (1, 1) B) (0, 1) C) (1, 0) D) (0, 0)

Explicación de la respuesta correcta (D): El origen es el punto donde se cruzan los ejes X e Y, y sus coordenadas son (0,0).

27. La ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y tiene pendiente -1 es:

A) y = -x + 1 B) y = -x + 5 C) y = x + 1 D) y = x - 5

Explicación de la respuesta correcta (B): Usando y - y₁ = m(x - x₁): y - 3 = -1(x - 2) => y - 3 = -x + 2 => y = -x + 5.

28. El centro y radio de la circunferencia x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0 son:

A) C(3, -2), r=4 B) C(-3, 2), r=16 C) C(6, -4), r=√3 D) C(-3, 2), r=4

Explicación de la respuesta correcta (A): Completando cuadrados: (x² - 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 => (x - 3)² + (y + 2)² = 16. Centro (3, -2), radio √16 = 4.

29. La directriz de la parábola x² = 4y es:

A) y = 1 B) x = -1 C) y = -1 D) x = 1

Explicación de la respuesta correcta (C): La forma es x² = 4py. Aquí 4p = 4, entonces p = 1. Como se abre hacia arriba, el foco es (0, p) = (0, 1) y la directriz es y = -p, es decir, y = -1.

30. La excentricidad de una elipse siempre es:

A) Mayor que 1 (e > 1) B) Igual a 1 (e = 1) C) Entre 0 y 1 (0 ≤ e < 1) D) Igual a 0 (e = 0)

Explicación de la respuesta correcta (C): La excentricidad 'e' de una elipse cumple 0 ≤ e < 1. Si e=0, es una circunferencia.

31. La abscisa de un punto P(x, y) es:

A) La coordenada y. B) La distancia al origen. C) La coordenada x. D) El cuadrante en el que se encuentra.

Explicación de la respuesta correcta (C): La abscisa es la primera coordenada de un par ordenado (x, y).

32. Una recta con pendiente negativa:

A) Es horizontal. B) Es vertical. C) Desciende de izquierda a derecha. D) Asciende de izquierda a derecha.

Explicación de la respuesta correcta (C): Una pendiente negativa indica que a medida que x aumenta, y disminuye.

33. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 7 es:

A) x² + y² = 7 B) x² + y² = 14 C) (x - 7)² + (y - 7)² = 49 D) x² + y² = 49

Explicación de la respuesta correcta (D): Con centro (0,0), la ecuación es x² + y² = r². Si r=7, r²=49.

34. El vértice de la parábola (y + 1)² = -4(x - 2) es:

A) (-1, 2) B) (1, -2) C) (2, -1) D) (-2, 1)

Explicación de la respuesta correcta (C): La forma es (y-k)² = 4p(x-h). El vértice es (h,k). Aquí h=2, k=-1.

35. En una elipse, los focos siempre se encuentran sobre:

A) El eje menor. B) El eje mayor. C) La directriz. D) El centro.

Explicación de la respuesta correcta (B): Los focos de una elipse se localizan en su eje mayor.

36. ¿En qué cuadrante se encuentra el punto (-3, 5)?

A) Primer cuadrante B) Segundo cuadrante C) Tercer cuadrante D) Cuarto cuadrante

Explicación de la respuesta correcta (B): x es negativa e y es positiva, lo que corresponde al segundo cuadrante.

37. La ecuación de una recta paralela al eje Y tiene la forma:

A) y = c (constante) B) y = x C) x = c (constante) D) y = mx

Explicación de la respuesta correcta (C): Una recta vertical (paralela al eje Y) tiene todos sus puntos con la misma coordenada x.

38. El centro de la elipse (x+4)²/16 + (y-1)²/9 = 1 es:

A) (4, -1) B) (-4, 1) C) (16, 9) D) (1, -4)

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, el centro es (h,k). Aquí h=-4, k=1.

39. La directriz de una parábola es:

A) Un punto fijo dentro de la parábola. B) Una línea fija tal que cualquier punto de la parábola equidista de ella y del foco. C) El eje de simetría de la parábola. D) El punto donde la parábola corta su eje.

Explicación de la respuesta correcta (B): Esta es la definición geométrica de una parábola en términos de su foco y directriz.

40. La excentricidad de una hipérbola siempre es:

A) Menor que 1 (0 < e < 1) B) Igual a 1 (e = 1) C) Mayor que 1 (e > 1) D) Igual a 0 (e = 0)

Explicación de la respuesta correcta (C): La excentricidad 'e' de una hipérbola siempre es mayor que 1.

41. La intersección de la recta y = x con la recta y = -x + 2 es el punto:

A) (0, 2) B) (2, 0) C) (1, 1) D) (-1, -1)

Explicación de la respuesta correcta (C): Igualando: x = -x + 2 => 2x = 2 => x = 1. Si x=1, y=x=1. Punto (1,1).

42. Una recta que pasa por los puntos (a, b) y (c, d) tiene una pendiente indefinida si:

A) b = d B) a = c C) a = b D) c = d

Explicación de la respuesta correcta (B): La pendiente es (d-b)/(c-a). Si a=c, el denominador es cero, y la pendiente es indefinida (recta vertical).

43. El lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante, se llama:

A) Elipse B) Parábola C) Hipérbola D) Circunferencia

Explicación de la respuesta correcta (D): Esta es la definición geométrica de una circunferencia.

44. El vértice de la parábola y = (x - 5)² + 3 es:

A) (-5, 3) B) (5, 3) C) (5, -3) D) (3, 5)

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma y = a(x-h)² + k, el vértice es (h,k). Aquí h=5, k=3.

45. El semieje mayor de la elipse x²/36 + y²/16 = 1 tiene longitud:

A) 36 B) 16 C) 6 D) 4

Explicación de la respuesta correcta (C): a² es el denominador mayor, a² = 36, entonces a = 6.

46. El punto ( -2, -3) se encuentra en el:

A) Primer cuadrante B) Segundo cuadrante C) Tercer cuadrante D) Cuarto cuadrante

Explicación de la respuesta correcta (C): Ambas coordenadas x e y son negativas, lo que corresponde al tercer cuadrante.

47. La ecuación de una recta paralela al eje X tiene la forma:

A) x = c (constante) B) y = mx (m≠0) C) y = c (constante) D) x + y = c

Explicación de la respuesta correcta (C): Una recta horizontal (paralela al eje X) tiene todos sus puntos con la misma coordenada y.

48. Los focos de la hipérbola x²/9 - y²/16 = 1 se encuentran sobre el eje:

A) Eje Y B) Una recta y = x C) Eje X D) No tiene focos.

Explicación de la respuesta correcta (C): Como el término con x² es positivo, el eje transversal (donde están los focos y vértices) es el eje X.

49. El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante, es una:

A) Circunferencia B) Parábola C) Elipse D) Hipérbola

Explicación de la respuesta correcta (D): Esta es la definición geométrica de una hipérbola.

50. ¿Cuál es la ecuación de la recta que es perpendicular a y = 2x + 1 y pasa por (0, 3)?

A) y = 2x + 3 B) y = (-1/2)x + 3 C) y = (-1/2)x - 3 D) y = (1/2)x + 3

Explicación de la respuesta correcta (B): La pendiente de y=2x+1 es m₁=2. La pendiente de una recta perpendicular m₂ es -1/m₁ = -1/2. Como pasa por (0,3), la ordenada al origen b=3. Ecuación: y = (-1/2)x + 3.

Cuestionario sobre Geometría Analítica (Parte 2)

La geometría analítica nos proporciona las herramientas para describir y analizar figuras geométricas mediante el lenguaje del álgebra. Este cuestionario te permitirá seguir practicando y profundizando en los conceptos de puntos, rectas, y las diversas secciones cónicas, fortaleciendo tu capacidad para trabajar con sus ecuaciones y propiedades.

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos P(-3, 1) y Q(2, -11)?

A) 12 B) √145 C) 13 D) 17

Explicación de la respuesta correcta (C): d = √((2 - (-3))² + (-11 - 1)²) = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

2. La pendiente de la recta 4x + 2y - 5 = 0 es:

A) 2 B) -2 C) 1/2 D) -1/2

Explicación de la respuesta correcta (B): Despejando y: 2y = -4x + 5 => y = -2x + 5/2. La pendiente es -2.

3. La ecuación de una circunferencia con centro en (0, -4) y radio 2 es:

A) x² + (y - 4)² = 4 B) x² + (y + 4)² = 2 C) (x + 4)² + y² = 4 D) x² + (y + 4)² = 4

Explicación de la respuesta correcta (D): (x-0)² + (y-(-4))² = 2² => x² + (y+4)² = 4.

4. El vértice de la parábola (x + 3)² = 8(y - 1) es:

A) (3, -1) B) (-3, 1) C) (1, -3) D) (-1, 3)

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma (x-h)² = 4p(y-k), el vértice es (h,k). Aquí h=-3, k=1.

5. Una recta que pasa por el origen y por el punto (5, 5) tiene una pendiente de:

A) 0 B) 1 C) 5 D) Indefinida

Explicación de la respuesta correcta (B): m = (5-0)/(5-0) = 5/5 = 1.

6. ¿Cuál es el punto medio del segmento con extremos P(0, 8) y Q(6, -2)?

A) (3, 3) B) (6, 6) C) (3, 5) D) (-3, -5)

Explicación de la respuesta correcta (A): M = ( (0+6)/2 , (8+(-2))/2 ) = ( 6/2 , 6/2 ) = (3, 3).

7. La ecuación y² = -16x representa una parábola que se abre hacia:

A) Arriba B) Abajo C) La derecha D) La izquierda

Explicación de la respuesta correcta (D): El término cuadrático es y, y el coeficiente de x es negativo (4p = -16), por lo tanto, se abre hacia la izquierda.

8. Si la pendiente de una recta es 2/3, la pendiente de una recta perpendicular a ella es:

A) 2/3 B) -2/3 C) 3/2 D) -3/2

Explicación de la respuesta correcta (D): La pendiente de una recta perpendicular es la recíproca negativa: -1 / (2/3) = -3/2.

9. El radio de la circunferencia (x + 5)² + (y - 1)² = 49 es:

A) 49 B) 7 C) √7 D) 24.5

Explicación de la respuesta correcta (B): r² = 49, entonces r = √49 = 7.

10. La ecuación x = -4 representa una recta:

A) Horizontal B) Vertical C) Con pendiente positiva D) Que pasa por el origen.

Explicación de la respuesta correcta (B): Una ecuación de la forma x = constante es una recta vertical.

11. La forma general de la ecuación de una recta es Ax + By + C = 0. ¿Cuál es la pendiente de esta recta (si B≠0)?

A) A/B B) -A/B C) -C/B D) C/A

Explicación de la respuesta correcta (B): Despejando y: By = -Ax - C => y = (-A/B)x - C/B. La pendiente es -A/B.

12. El foco de la parábola (x - 1)² = 4(y + 2) está en:

A) (1, -1) B) (1, -2) C) (0, -2) D) (1, 0)

Explicación de la respuesta correcta (A): Vértice (1, -2). 4p = 4 => p = 1. Se abre hacia arriba. Foco (h, k+p) = (1, -2+1) = (1, -1).

13. Si la pendiente de una recta es 0, y pasa por el punto (3, 7), su ecuación es:

A) x = 3 B) y = 3 C) y = 7 D) x = 7

Explicación de la respuesta correcta (C): Una recta con pendiente 0 es horizontal, y su ecuación es y = constante. Como pasa por (3,7), la constante es 7.

14. Los focos de la elipse x²/16 + y²/25 = 1 están en:

A) (0, ±3) B) (±3, 0) C) (0, ±4) D) (±4, 0)

Explicación de la respuesta correcta (A): a²=25 (eje mayor vertical), b²=16. c² = a² - b² = 25 - 16 = 9 => c = 3. Los focos están en (0, ±c) = (0, ±3).

15. La intersección con el eje X (abscisa al origen) de la recta y = 2x - 8 es:

A) -8 B) 4 C) -4 D) 2

Explicación de la respuesta correcta (B): Hacemos y=0: 0 = 2x - 8 => 2x = 8 => x = 4.

16. Las asíntotas de la hipérbola y²/a² - x²/b² = 1 son:

A) y = ±(b/a)x B) y = ±(a/b)x C) x = ±(a/b)y D) x = ±(b/a)y

Explicación de la respuesta correcta (B): Para una hipérbola con eje transversal vertical, las asíntotas son y = ±(a/b)x.

17. La ecuación de la recta que pasa por (1, -2) y es paralela a y = 3x + 7 es:

A) y = 3x - 5 B) y = -1/3x - 5/3 C) y = 3x + 1 D) y = 3x + 7

Explicación de la respuesta correcta (A): La pendiente es m=3. Usando y - y₁ = m(x - x₁): y - (-2) = 3(x - 1) => y + 2 = 3x - 3 => y = 3x - 5.

18. La directriz de la parábola (y - 3)² = 12(x + 1) es:

A) x = -4 B) y = 0 C) x = 2 D) y = 6

Explicación de la respuesta correcta (A): Vértice (-1, 3). 4p = 12 => p = 3. Se abre hacia la derecha. Foco (h+p, k) = (-1+3, 3) = (2,3). Directriz x = h - p = -1 - 3 = -4.

19. En una elipse, la relación entre a (semieje mayor), b (semieje menor) y c (distancia del centro al foco) es:

A) a² = b² + c² B) b² = a² + c² C) c² = a² + b² D) a = b + c

Explicación de la respuesta correcta (A): Para una elipse, a es el más largo, entonces a² = b² + c². (Para una hipérbola es c² = a² + b²).

20. La ecuación de la recta que pasa por (4,0) y (0,2) en forma simétrica es:

A) x/2 + y/4 = 1 B) x/4 + y/2 = 0 C) x/4 + y/2 = 1 D) 4x + 2y = 1

Explicación de la respuesta correcta (C): La forma simétrica es x/a + y/b = 1, donde 'a' es la abscisa al origen y 'b' la ordenada al origen. Aquí a=4, b=2.

21. ¿Cuál es la distancia del punto (-1, 7) a la recta y = 3?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 10

Explicación de la respuesta correcta (B): La recta y=3 es horizontal. La distancia vertical del punto (-1,7) a la recta y=3 es |7 - 3| = 4.

22. La pendiente de la recta perpendicular a 2x - 5y = 10 es:

A) 2/5 B) 5/2 C) -2/5 D) -5/2

Explicación de la respuesta correcta (D): Pendiente de 2x - 5y = 10: -5y = -2x + 10 => y = (2/5)x - 2. Pendiente m₁ = 2/5. Pendiente perpendicular m₂ = -1/m₁ = -5/2.

23. Una circunferencia que es tangente al eje X en (3,0) y tiene radio 3, tiene su centro en:

A) (3, 0) B) (3, 3) o (3, -3) C) (0, 3) D) (6, 0)

Explicación de la respuesta correcta (B): Si es tangente al eje X en (3,0), la coordenada x del centro es 3. Como el radio es 3, la coordenada y del centro será 3 o -3.

24. El eje de simetría de la parábola y² = 4x es:

A) El eje X (y=0) B) El eje Y (x=0) C) La recta y = x D) La recta y = 4

Explicación de la respuesta correcta (A): Como y está al cuadrado, la parábola se abre horizontalmente y su eje de simetría es el eje X.

25. El lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta fija (directriz) es igual a su distancia a un punto fijo (foco) es una:

A) Circunferencia B) Parábola C) Elipse D) Hipérbola

Explicación de la respuesta correcta (B): Esta es la definición geométrica de una parábola.

26. La ordenada de un punto P(x, y) es:

A) La coordenada x. B) La distancia al origen. C) La coordenada y. D) El ángulo que forma con el eje X.

Explicación de la respuesta correcta (C): La ordenada es la segunda coordenada de un par ordenado (x, y).

27. La ecuación de la recta que pasa por (-3, 1) y tiene pendiente indefinida es:

A) y = 1 B) x = 1 C) y = -3 D) x = -3

Explicación de la respuesta correcta (D): Una recta con pendiente indefinida es vertical, y su ecuación es x = constante. Como pasa por (-3,1), la constante es -3.

28. Los vértices de la elipse x²/49 + y²/25 = 1 son:

A) (±7, 0) y (0, ±5) B) (±49, 0) y (0, ±25) C) (±5, 0) y (0, ±7) D) (±25, 0) y (0, ±49)

Explicación de la respuesta correcta (A): a²=49 => a=7 (semieje mayor horizontal). b²=25 => b=5 (semieje menor). Vértices principales (±a,0) = (±7,0). Covértices (0,±b) = (0,±5).

29. El lado recto de una parábola es un segmento de cuerda que:

A) Pasa por el vértice y es paralelo a la directriz. B) Pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría. C) Es tangente a la parábola en su vértice. D) Conecta dos puntos cualesquiera de la parábola.

Explicación de la respuesta correcta (B): El lado recto es la cuerda focal perpendicular al eje de la parábola, y su longitud es |4p|.

30. ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y ordenada al origen -3?

A) y = -3x + 2 B) y = 2x - 3 C) y = 2x + 3 D) y = -2x - 3

Explicación de la respuesta correcta (B): Usando la forma y = mx + b, con m=2 y b=-3, tenemos y = 2x - 3.

31. La distancia entre los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) se calcula con la fórmula:

A) √((x₂ - x₁)² - (y₂ - y₁)² ) B) (x₂ - x₁) + (y₂ - y₁) C) √((x₂ + x₁)² + (y₂ + y₁)² ) D) √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² )

Explicación de la respuesta correcta (D): Esta es la fórmula de la distancia euclidiana entre dos puntos en un plano.

32. Una recta con pendiente positiva:

A) Desciende de izquierda a derecha. B) Es paralela al eje X. C) Asciende de izquierda a derecha. D) Es paralela al eje Y.

Explicación de la respuesta correcta (C): Una pendiente positiva indica que a medida que x aumenta, y también aumenta.

33. La ecuación x² + y² + 4x - 2y - 4 = 0 representa una circunferencia. ¿Cuál es su centro?

A) (4, -2) B) (-2, 1) C) (2, -1) D) (-4, 2)

Explicación de la respuesta correcta (B): Completando cuadrados: (x² + 4x + 4) + (y² - 2y + 1) = 4 + 4 + 1 => (x+2)² + (y-1)² = 9. Centro (-2, 1).

34. El foco de la parábola x² = -20y es:

A) (0, -20) B) (0, -5) C) (-5, 0) D) (0, 5)

Explicación de la respuesta correcta (B): Forma x² = 4py. 4p = -20 => p = -5. Foco (0, p) = (0, -5).

35. En una hipérbola, ¿cuál es la relación entre a (semieje transverso), b (semieje conjugado) y c (distancia del centro al foco)?

A) a² = b² + c² B) b² = a² + c² C) c² = a² + b² D) a + b = c

Explicación de la respuesta correcta (C): Para una hipérbola, c es el más largo y se cumple c² = a² + b².

36. El punto (4, -1) se encuentra en el:

A) Primer cuadrante B) Segundo cuadrante C) Tercer cuadrante D) Cuarto cuadrante

Explicación de la respuesta correcta (D): x es positiva e y es negativa, lo que corresponde al cuarto cuadrante.

37. La ecuación de una recta perpendicular al eje X tiene la forma:

A) y = c (constante) B) x = c (constante) C) y = mx D) x/a + y/b = 1

Explicación de la respuesta correcta (B): Una recta perpendicular al eje X es una recta vertical, cuya ecuación es x = constante.

38. El semieje menor de la elipse (x-2)²/9 + (y+3)²/25 = 1 tiene longitud:

A) 3 B) 5 C) 9 D) 25

Explicación de la respuesta correcta (A): a²=25 (eje mayor vertical), b²=9 (eje menor horizontal). Entonces b = √9 = 3.

39. El vértice de una parábola es el punto donde:

A) La parábola corta su directriz. B) Se encuentran el foco y la directriz. C) La parábola corta su eje de simetría y cambia de dirección. D) La distancia al foco es máxima.

Explicación de la respuesta correcta (C): El vértice es el punto de inflexión de la parábola, donde se cruza con su eje de simetría.

40. Si la excentricidad de una cónica es e = 1, la cónica es una:

A) Circunferencia B) Elipse C) Hipérbola D) Parábola

Explicación de la respuesta correcta (D): Una parábola tiene una excentricidad igual a 1.

41. La intersección de la recta x = 3 con la circunferencia x² + y² = 25 son los puntos:

A) (3, 4) y (3, -4) B) (4, 3) y (-4, 3) C) (3, 16) y (3, -16) D) No se intersectan.

Explicación de la respuesta correcta (A): Sustituyendo x=3 en la ecuación de la circunferencia: 3² + y² = 25 => 9 + y² = 25 => y² = 16 => y = ±4. Puntos (3,4) y (3,-4).

42. Una recta con pendiente 0 y que pasa por (2, -5) tiene la ecuación:

A) x = 2 B) y = 2 C) x = -5 D) y = -5

Explicación de la respuesta correcta (D): Recta horizontal y = constante. Como pasa por (2, -5), la constante es -5.

43. La ecuación general Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 representa una circunferencia si:

A) A = 0 o C = 0. B) A y C tienen signos opuestos. C) A = C (y no son cero). D) D = E = 0.

Explicación de la respuesta correcta (C): Para que sea una circunferencia, los coeficientes de x² e y² deben ser iguales y no nulos.

44. El foco de la parábola (y + 2)² = -8(x - 1) es:

A) (1, -4) B) (-1, -2) C) (3, -2) D) (1, 0)

Explicación de la respuesta correcta (B): Vértice (1, -2). 4p = -8 => p = -2. Se abre hacia la izquierda. Foco (h+p, k) = (1+(-2), -2) = (-1, -2).

45. El semieje conjugado de la hipérbola x²/25 - y²/144 = 1 tiene longitud:

A) 5 B) 12 C) 25 D) 144

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma x²/a² - y²/b² = 1, a² es el denominador del término positivo. Aquí a²=25, b²=144. El semieje transverso es a=5, el semieje conjugado es b=√144 = 12.

46. Un punto que se encuentra sobre el eje Y tiene su coordenada x igual a:

A) 1 B) Su coordenada y C) 0 D) -1

Explicación de la respuesta correcta (C): Todos los puntos sobre el eje Y tienen una coordenada x de 0.

47. La ecuación de la recta que pasa por (1,1) y (-2,7) es:

A) y = -2x + 3 B) y = 2x - 1 C) y = -x + 2 D) y = x

Explicación de la respuesta correcta (A): Pendiente m = (7-1)/(-2-1) = 6/-3 = -2. Usando y - y₁ = m(x - x₁): y - 1 = -2(x - 1) => y - 1 = -2x + 2 => y = -2x + 3.

48. En la hipérbola (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1, el eje transversal es:

A) Horizontal B) Vertical C) Oblicuo D) No tiene eje transversal.

Explicación de la respuesta correcta (B): Como el término con (y-k)² es positivo, el eje transversal es vertical.

49. La distancia del centro a cada foco en una elipse se denota por:

A) a B) b C) c D) p

Explicación de la respuesta correcta (C): 'c' es la distancia del centro a cada uno de los focos en una elipse (y también en una hipérbola).

50. La ecuación x²/16 + y²/16 = 1 representa una:

A) Elipse con eje mayor horizontal. B) Hipérbola. C) Parábola. D) Circunferencia con radio 4.

Explicación de la respuesta correcta (D): Si a² = b² en la ecuación de una elipse, se trata de una circunferencia. Aquí a² = b² = 16, por lo que r² = 16 y r = 4.

Cuestionario sobre Geometría Analítica (Parte 3)

La geometría analítica fusiona el álgebra con la geometría, permitiendo describir formas y posiciones mediante ecuaciones. Esta tercera entrega de preguntas te ayudará a consolidar tu entendimiento de los conceptos fundamentales y las propiedades de las figuras geométricas en el plano cartesiano.

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1, -2) y B(3, 1)?

A) 4 B) √20 C) 5 D) √10

Explicación de la respuesta correcta (C): d = √((3 - (-1))² + (1 - (-2))²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

2. La pendiente de la recta que pasa por P(-2, 6) y Q(4, -3) es:

A) 3/2 B) -3/2 C) 2/3 D) -2/3

Explicación de la respuesta correcta (B): m = (-3 - 6) / (4 - (-2)) = -9 / 6 = -3/2.

3. La ecuación de una circunferencia con centro en (2, -5) y que pasa por el origen (0,0) es:

A) (x - 2)² + (y + 5)² = 29 B) (x + 2)² + (y - 5)² = 29 C) (x - 2)² + (y + 5)² = √29 D) x² + y² = 29

Explicación de la respuesta correcta (A): El radio es la distancia del centro (2,-5) al origen (0,0): r = √((2-0)² + (-5-0)²) = √(4 + 25) = √29. Entonces r² = 29. La ecuación es (x-2)² + (y+5)² = 29.

4. El vértice de la parábola y = x² + 6x + 5 es:

A) (3, -4) B) (-3, 4) C) (-3, -4) D) (6, 5)

Explicación de la respuesta correcta (C): x del vértice = -b/(2a) = -6/(2*1) = -3. y del vértice = (-3)² + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. Vértice (-3, -4).

5. Una recta que pasa por los puntos (1, 4) y (1, -2) es:

A) Horizontal B) Vertical C) Oblicua con pendiente positiva D) Oblicua con pendiente negativa

Explicación de la respuesta correcta (B): Ambos puntos tienen la misma coordenada x (x=1), por lo tanto, la recta es vertical.

6. ¿Cuál es el punto medio del segmento con extremos A(7, -3) y B(-1, 5)?

A) (6, 2) B) (3, 1) C) (4, -1) D) (8, -8)

Explicación de la respuesta correcta (B): M = ( (7+(-1))/2 , (-3+5)/2 ) = ( 6/2 , 2/2 ) = (3, 1).

7. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, -2) es:

A) x² = -8y B) y² = -8x C) x² = -2y D) y² = 2x

Explicación de la respuesta correcta (A): Vértice (0,0), foco (0,p). Como el foco es (0,-2), p=-2. La parábola se abre hacia abajo. Ecuación: x² = 4py => x² = 4(-2)y => x² = -8y.

8. Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son:

A) Iguales B) Recíprocas negativas C) Opuestas D) Siempre cero

Explicación de la respuesta correcta (A): Las rectas paralelas tienen la misma pendiente (a menos que ambas sean verticales).

9. El radio de la circunferencia x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0 es:

A) 4 B) √20 C) 20 D) 5

Explicación de la respuesta correcta (D): Completando cuadrados: (x²-2x+1) + (y²+4y+4) = 20+1+4 => (x-1)² + (y+2)² = 25. r²=25 => r=5.

10. La ecuación y = 5 representa una recta:

A) Vertical B) Horizontal C) Con pendiente 5 D) Que pasa por el origen.

Explicación de la respuesta correcta (B): Una ecuación de la forma y = constante es una recta horizontal.

11. La ecuación y - 3 = 2(x + 1) está en forma:

A) Pendiente-ordenada al origen B) General C) Punto-pendiente D) Simétrica

Explicación de la respuesta correcta (C): La forma y - y₁ = m(x - x₁) se conoce como punto-pendiente.

12. El eje de simetría de la parábola (y - 2)² = 4(x + 3) es:

A) x = -3 B) y = 2 C) x = 2 D) y = -3

Explicación de la respuesta correcta (B): El vértice es (-3, 2). Como y está al cuadrado, la parábola se abre horizontalmente, y su eje de simetría es la recta horizontal y = k, es decir, y = 2.

13. Dos rectas distintas que no se intersectan en el plano cartesiano son:

A) Perpendiculares B) Coincidentes C) Paralelas D) Secantes

Explicación de la respuesta correcta (C): Las rectas paralelas en un plano son aquellas que no se cortan en ningún punto.

14. Los focos de la elipse (x-1)²/25 + (y+2)²/16 = 1 están en:

A) (1, -2±3) B) (1±3, -2) C) (1±4, -2) D) (1, -2±4)

Explicación de la respuesta correcta (B): Centro (1, -2). a²=25, b²=16. Eje mayor horizontal. c² = a² - b² = 25 - 16 = 9 => c = 3. Focos (h±c, k) = (1±3, -2).

15. La abscisa al origen (intersección con el eje X) de la recta x/3 + y/5 = 1 es:

A) 3 B) 5 C) 1/3 D) 1/5

Explicación de la respuesta correcta (A): En la forma simétrica x/a + y/b = 1, 'a' es la abscisa al origen. Aquí a=3. (O haciendo y=0, x/3 = 1 => x=3).

16. Una hipérbola equilátera es aquella en la que:

A) Sus asíntotas son perpendiculares (a=b). B) Sus focos coinciden con sus vértices. C) No tiene asíntotas. D) Su excentricidad es 1.

Explicación de la respuesta correcta (A): En una hipérbola equilátera, los semiejes transverso y conjugado son iguales (a=b), lo que hace que sus asíntotas sean perpendiculares.

17. La ecuación de la recta que pasa por (2, -4) y es perpendicular a x = 5 es:

A) y = -4 B) x = 2 C) y = 5 D) x = -4

Explicación de la respuesta correcta (A): La recta x=5 es vertical. Una perpendicular a ella es horizontal, de la forma y = constante. Como pasa por (2, -4), la constante es -4. Ecuación: y = -4.

18. El lado recto de la parábola y² = 20x tiene una longitud de:

A) 5 B) 10 C) 40 D) 20

Explicación de la respuesta correcta (D): La ecuación es de la forma y² = 4px. Aquí 4p = 20. La longitud del lado recto es |4p|, que es 20.

19. En una elipse, la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es:

A) Constante e igual a 2b (longitud del eje menor). B) Variable dependiendo del punto. C) Constante e igual a 2a (longitud del eje mayor). D) Igual a la distancia entre los focos (2c).

Explicación de la respuesta correcta (C): Esta es una propiedad definitoria de la elipse.

20. La ecuación (y - 2)² = 0 representa:

A) Un punto (0, 2). B) Una recta horizontal y = 2. C) Una parábola. D) El eje X.

Explicación de la respuesta correcta (B): (y - 2)² = 0 implica y - 2 = 0, lo que significa y = 2. Esto es la ecuación de una recta horizontal.

21. El punto (0, -5) se encuentra sobre:

A) El eje X. B) El eje Y. C) El origen. D) El segundo cuadrante.

Explicación de la respuesta correcta (B): Si la coordenada x es 0, el punto está sobre el eje Y.

22. La recta y = -x + 4 tiene una pendiente de:

A) 1 B) 4 C) -4 D) -1

Explicación de la respuesta correcta (D): En la forma y = mx + b, m es la pendiente. Aquí m = -1.

23. Una circunferencia tiene su centro en (3, 0) y radio 3. ¿Cuál es su ecuación?

A) (x - 3)² + y² = 9 B) x² + (y - 3)² = 9 C) (x - 3)² + y² = 3 D) x² + y² = 9

Explicación de la respuesta correcta (A): (x-3)² + (y-0)² = 3² => (x-3)² + y² = 9.

24. La directriz de la parábola y² = -4x es:

A) x = 1 B) y = -1 C) x = -1 D) y = 1

Explicación de la respuesta correcta (A): Forma y² = 4px. 4p = -4 => p = -1. Se abre a la izquierda. Foco (p,0) = (-1,0). Directriz x = -p = -(-1) = 1.

25. En una hipérbola, los vértices se encuentran sobre el:

A) Eje conjugado. B) Eje transversal. C) Las asíntotas. D) El centro.

Explicación de la respuesta correcta (B): El eje transversal de una hipérbola es el segmento que une los dos vértices.

26. La distancia del punto (5, -12) al origen es:

A) 7 B) 13 C) 17 D) √119

Explicación de la respuesta correcta (B): d = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

27. La ecuación de la recta que es paralela a y = -2x + 5 y pasa por (1, 1) es:

A) y = -2x + 1 B) y = 1/2x + 1/2 C) y = -2x - 1 D) y = -2x + 3

Explicación de la respuesta correcta (D): La pendiente es m=-2. y - 1 = -2(x - 1) => y - 1 = -2x + 2 => y = -2x + 3.

28. El centro y radio de x² + (y+3)² = 1 son:

A) C(0, -3), r=1 B) C(0, 3), r=1 C) C(-3, 0), r=1 D) C(0, -3), r=√1

Explicación de la respuesta correcta (A): Centro (0, -3), radio √1 = 1. La opción D es correcta en valor, pero A es más explícita.

29. ¿Hacia dónde se abre la parábola y² = 10x?

A) Hacia la izquierda B) Hacia arriba C) Hacia abajo D) Hacia la derecha

Explicación de la respuesta correcta (D): El término cuadrático es y, y el coeficiente de x es positivo (4p = 10), por lo tanto, se abre hacia la derecha.

30. La excentricidad de una circunferencia es:

A) e = 1 B) e > 1 C) e < 0 D) e = 0

Explicación de la respuesta correcta (D): Una circunferencia es un caso especial de elipse con excentricidad e = 0.

31. El punto de intersección de las rectas y = x + 1 e y = -x + 3 es:

A) (1, 2) B) (2, 1) C) (0, 1) D) (3, 0)

Explicación de la respuesta correcta (A): x + 1 = -x + 3 => 2x = 2 => x = 1. Si x=1, y = 1 + 1 = 2. Punto (1,2).

32. ¿Cuál es la pendiente de la recta 5x - y = 0?

A) 5 B) -5 C) 1/5 D) -1/5

Explicación de la respuesta correcta (A): Despejando y: -y = -5x => y = 5x. La pendiente es 5.

33. La ecuación x² + 6x + y² - 8y = 0 representa una circunferencia. ¿Cuál es su radio?

A) √5 B) 25 C) 7 D) 5

Explicación de la respuesta correcta (D): (x²+6x+9) + (y²-8y+16) = 0+9+16 => (x+3)² + (y-4)² = 25. r²=25 => r=5.

34. El foco de la parábola (y - 1)² = -4(x + 2) es:

A) (-3, 1) B) (-2, 0) C) (-1, 1) D) (-2, -1)

Explicación de la respuesta correcta (A): Vértice (-2, 1). 4p = -4 => p = -1. Se abre a la izquierda. Foco (h+p, k) = (-2-1, 1) = (-3, 1).

35. El semieje mayor de la elipse x²/100 + y²/64 = 1 tiene longitud:

A) 100 B) 64 C) 8 D) 10

Explicación de la respuesta correcta (D): a² es el denominador mayor, a² = 100, entonces a = 10.

36. Un punto en el cuarto cuadrante tiene coordenadas (x,y) tales que:

A) x > 0, y > 0 B) x < 0, y > 0 C) x < 0, y < 0 D) x > 0, y < 0

Explicación de la respuesta correcta (D): En el cuarto cuadrante, la abscisa (x) es positiva y la ordenada (y) es negativa.

37. La ecuación de una recta perpendicular al eje Y tiene la forma:

A) x = c (constante) B) y = mx + b (m≠0) C) y = c (constante) D) x + y = 0

Explicación de la respuesta correcta (C): Una recta perpendicular al eje Y es una recta horizontal, cuya ecuación es y = constante.

38. El centro de la hipérbola (y+1)²/9 - (x-4)²/16 = 1 es:

A) (-1, 4) B) (4, -1) C) (9, 16) D) (-4, 1)

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1, el centro es (h,k). Aquí h=4, k=-1.

39. El "parámetro p" en la ecuación canónica de una parábola representa:

A) La distancia del vértice a la directriz (y también del vértice al foco). B) La longitud del lado recto. C) La excentricidad de la parábola. D) La pendiente de la tangente en el vértice.

Explicación de la respuesta correcta (A): 'p' es la distancia focal, que es la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz.

40. Si la excentricidad de una cónica es e > 1, la cónica es una:

A) Circunferencia B) Elipse C) Hipérbola D) Parábola

Explicación de la respuesta correcta (C): Una hipérbola tiene una excentricidad mayor que 1.

41. La distancia del punto (3, -1) a la recta x = -2 es:

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5

Explicación de la respuesta correcta (D): La recta x=-2 es vertical. La distancia horizontal del punto (3,-1) a la recta x=-2 es |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5.

42. Una recta que pasa por el origen y es perpendicular a y = x/3 tiene por ecuación:

A) y = 3x B) y = -3x C) y = -x/3 D) y = x + 3

Explicación de la respuesta correcta (B): La pendiente de y=x/3 es m₁=1/3. La pendiente perpendicular m₂ = -1/(1/3) = -3. Como pasa por el origen, b=0. Ecuación y = -3x.

43. El lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) es k veces su distancia a una recta fija (directriz), donde k es la excentricidad, define a:

A) Solo la parábola (si k=1). B) Solo la elipse (si 0 C) Solo la hipérbola (si k>1). D) Todas las cónicas (parábola, elipse, hipérbola) según el valor de k.

Explicación de la respuesta correcta (D): Esta es la definición general de una sección cónica en términos de foco, directriz y excentricidad.

44. El eje de simetría de la parábola x = (y - 2)² + 5 es:

A) x = 5 B) y = 5 C) x = 2 D) y = 2

Explicación de la respuesta correcta (D): En la forma x = a(y-k)² + h, el vértice es (h,k) y el eje de simetría es y=k. Aquí el vértice es (5,2), y se abre horizontalmente, por lo que el eje de simetría es y=2.

45. El semieje menor de la elipse (x+1)²/16 + (y-5)²/49 = 1 tiene longitud:

A) 16 B) 7 C) 49 D) 4

Explicación de la respuesta correcta (D): a² es el denominador mayor (49), b² es el menor (16). Entonces b = √16 = 4.

46. Un punto que se encuentra sobre el eje X tiene su coordenada y igual a:

A) 1 B) Su coordenada x C) -1 D) 0

Explicación de la respuesta correcta (D): Todos los puntos sobre el eje X tienen una coordenada y de 0.

47. La ecuación de la recta y = -7 es una recta:

A) Vertical. B) Horizontal. C) Con pendiente -7. D) Que pasa por el origen.

Explicación de la respuesta correcta (B): Es una recta horizontal con pendiente 0 que corta el eje Y en -7.

48. Los focos de la hipérbola y²/16 - x²/9 = 1 se encuentran sobre el eje:

A) Eje X B) Eje Y C) La recta y = x D) La recta y = -x

Explicación de la respuesta correcta (B): Como el término con y² es positivo, el eje transversal (donde están los focos y vértices) es el eje Y.

49. La distancia entre los puntos (0,0) y (-6, 8) es:

A) 2 B) 8 C) 14 D) 10

Explicación de la respuesta correcta (D): d = √((-6-0)² + (8-0)²) = √((-6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

50. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a x = 7 y que pasa por (2, 5)?

A) y = 2 B) x = 2 C) y = 5 D) x = 5

Explicación de la respuesta correcta (C): La recta x=7 es vertical. Una perpendicular es horizontal, y = constante. Como pasa por (2,5), la constante es 5. Ecuación: y = 5.

Cuestionario sobre Geometría Analítica (Parte 3)

La geometría analítica es el puente entre el álgebra y la geometría, permitiéndonos describir formas geométricas mediante ecuaciones y resolver problemas geométricos con herramientas algebraicas. Este cuestionario presenta nuevos desafíos para consolidar tu comprensión de sus conceptos y aplicaciones.

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(0, 5) y B(-3, 1)?

A) 4 B) 5 C) √20 D) 25

Explicación de la respuesta correcta (B): d = √((-3-0)² + (1-5)²) = √((-3)² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2. La pendiente de una recta que es paralela a la recta 2x - y = 7 es:

A) -1/2 B) 1/2 C) -2 D) 2

Explicación de la respuesta correcta (D): La recta dada es y = 2x - 7, su pendiente es 2. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

3. Una circunferencia tiene centro en (-4, 0) y radio √5. Su ecuación es:

A) (x - 4)² + y² = 5 B) (x + 4)² + y² = 25 C) (x + 4)² + y² = 5 D) x² + (y + 4)² = 5

Explicación de la respuesta correcta (C): (x - (-4))² + (y - 0)² = (√5)² => (x + 4)² + y² = 5.

4. El foco de la parábola y² = 24x es:

A) (6, 0) B) (0, 6) C) (12, 0) D) (0, 12)

Explicación de la respuesta correcta (A): Forma y² = 4px. 4p = 24 => p = 6. Se abre a la derecha. Foco (p, 0) = (6, 0).

5. Si el semieje mayor de una elipse es a=5 y el semieje menor es b=3, y su centro es el origen con eje mayor horizontal, ¿cuál es su ecuación?

A) x²/9 + y²/25 = 1 B) x²/25 + y²/9 = 1 C) x²/5 + y²/3 = 1 D) x²/3 + y²/5 = 1

Explicación de la respuesta correcta (B): Eje mayor horizontal: x²/a² + y²/b² = 1. x²/5² + y²/3² = 1 => x²/25 + y²/9 = 1.

6. El punto medio del segmento con extremos P(-5, -7) y Q(1, -1) es:

A) (-4, -8) B) (-2, -3) C) (-2, -4) D) (-3, -3)

Explicación de la respuesta correcta (C): M = ( (-5+1)/2 , (-7-1)/2 ) = ( -4/2 , -8/2 ) = (-2, -4).

7. La directriz de la parábola x² = 12y es:

A) y = 3 B) x = -3 C) y = -3 D) x = 3

Explicación de la respuesta correcta (C): Forma x² = 4py. 4p = 12 => p = 3. Se abre hacia arriba. Foco (0,p) = (0,3). Directriz y = -p = -3.

8. Una recta con pendiente -1/4 es perpendicular a una recta con pendiente:

A) -1/4 B) 1/4 C) -4 D) 4

Explicación de la respuesta correcta (D): La pendiente perpendicular es -1 / (-1/4) = 4.

9. El centro de la circunferencia (x+1)² + y² = 10 es:

A) (1, 0) B) (-1, 0) C) (0, -1) D) (0, 1)

Explicación de la respuesta correcta (B): Centro (h,k). (x - (-1))² + (y - 0)² = 10. h=-1, k=0.

10. La ecuación general de una cónica Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 representa una parábola si:

A) B² - 4AC = 0 B) B² - 4AC < 0 C) B² - 4AC > 0 D) A = C

Explicación de la respuesta correcta (A): El discriminante B² - 4AC determina el tipo de cónica. Si es igual a cero, es una parábola.

11. La ecuación de la recta y = -2 es una recta:

A) Vertical B) Oblicua con pendiente -2 C) Horizontal D) Que pasa por el origen.

Explicación de la respuesta correcta (C): y = constante es una recta horizontal.

12. El vértice de la parábola y = -2(x - 3)² + 1 es:

A) (-3, 1) B) (3, 1) C) (3, -2) D) (-2, 3)

Explicación de la respuesta correcta (B): En la forma y = a(x-h)² + k, el vértice es (h,k). Aquí h=3, k=1.

13. Dos rectas y = m₁x + b₁ e y = m₂x + b₂ son perpendiculares si:

A) m₁ = m₂ B) m₁ * m₂ = 1 C) m₁ = -m₂ D) m₁ * m₂ = -1

Explicación de la respuesta correcta (D): El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares (no verticales/horizontales) es -1.

14. Los vértices de la elipse (x+2)²/9 + (y-3)²/4 = 1 están en:

A) (-2±3, 3) B) (-2, 3±2) C) (-2±2, 3) D) (-2, 3±3)

Explicación de la respuesta correcta (A): Centro (-2, 3). a²=9 (eje mayor horizontal) => a=3. b²=4 => b=2. Vértices (h±a, k) = (-2±3, 3).

15. La ordenada al origen de la recta y = -4x es:

A) -4 B) 4 C) 1 D) 0

Explicación de la respuesta correcta (D): La ecuación es y = -4x + 0. La ordenada al origen (b) es 0, lo que significa que la recta pasa por el origen.

16. El centro de la hipérbola (x-5)²/4 - (y+1)²/9 = 1 es:

A) (-5, 1) B) (5, 1) C) (5, -1) D) (-5, -1)

Explicación de la respuesta correcta (C): En la forma (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, el centro es (h,k). Aquí h=5, k=-1.

17. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (-1, 6) y es paralela al eje X?

A) x = -1 B) y = -1 C) x = 6 D) y = 6

Explicación de la respuesta correcta (D): Una recta paralela al eje X es horizontal, y = constante. Como pasa por (-1, 6), la constante es 6. Ecuación y = 6.

18. El valor de 'p' en la parábola x² = -16y es:

A) -16 B) -4 C) 4 D) 16

Explicación de la respuesta correcta (B): Forma x² = 4py. 4p = -16 => p = -4.

19. En una elipse, si a = 10 y c = 6, entonces b (semieje menor) es:

A) 4 B) √64 C) 8 D) √136

Explicación de la respuesta correcta (C): a² = b² + c² => 10² = b² + 6² => 100 = b² + 36 => b² = 64 => b = 8. La opción B también es 8.

20. La ecuación (x-h)² = 0 representa:

A) Un punto (h, 0). B) Una recta horizontal y = h. C) Una recta vertical x = h. D) Una parábola.

Explicación de la respuesta correcta (C): (x-h)² = 0 implica x-h = 0, lo que significa x = h. Esto es la ecuación de una recta vertical.

21. El punto (-4, 0) se encuentra sobre:

A) El eje Y. B) El origen. C) El eje X. D) El primer cuadrante.

Explicación de la respuesta correcta (C): Si la coordenada y es 0, el punto está sobre el eje X.

22. La recta y = 7x tiene una ordenada al origen de:

A) 7 B) 1 C) 0 D) No tiene.

Explicación de la respuesta correcta (C): y = 7x + 0. La ordenada al origen es 0 (pasa por el origen).

23. Una circunferencia es tangente al eje Y en (0, -2) y su radio es 4. Una posible ecuación es:

A) (x - 4)² + (y + 2)² = 16 B) x² + (y + 2)² = 16 C) (x + 4)² + (y + 2)² = 4 D) (x - 2)² + (y + 4)² = 16

Explicación de la respuesta correcta (A): Si es tangente al eje Y en (0,-2) y radio 4, el centro puede ser (4,-2) o (-4,-2). Si es (4,-2), la ecuación es (x-4)² + (y+2)² = 4² = 16.

24. El foco de la parábola (x + 1)² = -12(y - 3) es:

A) (-1, 0) B) (-1, 6) C) (2, 3) D) (-4, 3)

Explicación de la respuesta correcta (A): Vértice (-1, 3). 4p = -12 => p = -3. Se abre hacia abajo. Foco (h, k+p) = (-1, 3-3) = (-1, 0).

25. En una hipérbola, la distancia entre los dos vértices es la longitud del:

A) Eje conjugado (2b) B) Eje transversal (2a) C) Lado recto D) Distancia focal (2c)

Explicación de la respuesta correcta (B): El eje transversal une los dos vértices y su longitud es 2a.

26. La distancia entre P(x,y) y Q(x,z) es:

A) 0 B) |y - z| C) |x| D) √(y² + z²)

Explicación de la respuesta correcta (B): Como la coordenada x es la misma, los puntos están en una línea vertical. La distancia es la diferencia absoluta de sus coordenadas y. d = √((x-x)² + (z-y)²) = √(0 + (z-y)²) = |z-y| o |y-z|.

27. La ecuación de la recta perpendicular a y = 4 y que pasa por (1, 2) es:

A) y = 2 B) x = 1 C) y = 4x D) x = 4

Explicación de la respuesta correcta (B): y=4 es horizontal. Una perpendicular es vertical, x = constante. Como pasa por (1,2), la constante es 1. Ecuación x = 1.

28. Si una elipse tiene su eje mayor sobre el eje Y, su ecuación canónica es de la forma:

A) x²/a² + y²/b² = 1 (con a > b) B) x²/b² + y²/a² = 1 (con a > b) C) x²/a² - y²/b² = 1 D) y²/b² - x²/a² = 1

Explicación de la respuesta correcta (B): Si el eje mayor es vertical, a² (el denominador mayor) está bajo y².

29. El parámetro "4p" en la ecuación de una parábola como y² = 4px representa:

A) La distancia del vértice al foco. B) La longitud del lado recto. C) La excentricidad. D) La distancia entre el foco y la directriz.

Explicación de la respuesta correcta (B): La longitud del lado recto de una parábola es |4p|.

30. La ecuación (x-2)² + (y+5)² = -9 representa:

A) Una circunferencia con radio 3. B) Una elipse. C) Un punto. D) Ningún lugar geométrico real (circunferencia imaginaria).

Explicación de la respuesta correcta (D): El radio al cuadrado (r²) no puede ser negativo para una circunferencia real.

31. La distancia de un punto (x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0 se calcula mediante la fórmula:

A) |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) B) (Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²) C) √( (Ax₀)² + (By₀)² + C² ) D) |Ax₀ + By₀ + C|

Explicación de la respuesta correcta (A): Esta es la fórmula estándar para la distancia de un punto a una recta en forma general.

32. La pendiente de la recta que une los puntos (3, -2) y (3, 5) es:

A) 0 B) 1 C) 7/0 (indefinida) D) -7

Explicación de la respuesta correcta (C): m = (5 - (-2)) / (3 - 3) = 7 / 0. La pendiente es indefinida (recta vertical).

33. La ecuación x² + y² = 0 representa:

A) Una circunferencia de radio 1. B) El origen (0,0). C) El eje X y el eje Y. D) Ningún lugar geométrico.

Explicación de la respuesta correcta (B): La única solución real para x² + y² = 0 es x=0 e y=0, que es el punto origen. Es un caso degenerado de circunferencia con radio 0.

34. La parábola y = ax² + bx + c se abre hacia arriba si:

A) a < 0 B) b > 0 C) c < 0 D) a > 0

Explicación de la respuesta correcta (D): El signo del coeficiente 'a' determina la concavidad. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.

35. Los focos de la hipérbola (y-2)²/4 - (x+1)²/5 = 1 están en:

A) (-1, 2±3) B) (-1±3, 2) C) (-1, 2±√1) D) (4, -1)

Explicación de la respuesta correcta (A): Centro (-1, 2). a²=4, b²=5. Eje transversal vertical. c² = a² + b² = 4 + 5 = 9 => c = 3. Focos (h, k±c) = (-1, 2±3).

36. Un punto en el segundo cuadrante tiene coordenadas (x,y) tales que:

A) x > 0, y > 0 B) x < 0, y > 0 C) x < 0, y < 0 D) x > 0, y < 0

Explicación de la respuesta correcta (B): En el segundo cuadrante, la abscisa (x) es negativa y la ordenada (y) es positiva.

37. La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por el punto (x₁, y₁) es:

A) y = mx + x₁ B) y - y₁ = m(x - x₁) C) x - x₁ = m(y - y₁) D) Ax + By + C = m

Explicación de la respuesta correcta (B): Esta es la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta.

38. El semieje transverso de la hipérbola x²/36 - y²/64 = 1 tiene longitud:

A) 36 B) 6 C) 64 D) 8

Explicación de la respuesta correcta (B): a² es el denominador del término positivo, a²=36, entonces a=6.

39. El "lado recto" de una elipse es una cuerda que:

A) Pasa por el centro y es paralela al eje menor. B) Pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor. C) Une los dos vértices del eje mayor. D) Es tangente a la elipse en un vértice.

Explicación de la respuesta correcta (B): El lado recto de una elipse (o hipérbola) es la cuerda focal perpendicular al eje mayor (o transverso).

40. Si la excentricidad de una cónica es e = 0, la cónica es una:

A) Circunferencia B) Elipse (no circular) C) Hipérbola D) Parábola

Explicación de la respuesta correcta (A): Una circunferencia tiene excentricidad cero.

41. La distancia entre el punto (x, y) y la recta y = k es:

A) |x - k| B) |y - k| C) √(x² + k²) D) √(y² + k²)

Explicación de la respuesta correcta (B): La recta y=k es horizontal. La distancia vertical es la diferencia absoluta de las coordenadas y.

42. Una recta que forma un ángulo de 45° con el eje X positivo tiene una pendiente de:

A) 0 B) √2/2 C) 1 D) Indefinida

Explicación de la respuesta correcta (C): La pendiente m = tan(θ). tan(45°) = 1.

43. La ecuación x² + y² - 10y = 0 representa una circunferencia. ¿Cuál es su centro?

A) (0, 5) B) (0, -5) C) (5, 0) D) (-5, 0)

Explicación de la respuesta correcta (A): Completando cuadrados: x² + (y² - 10y + 25) = 25 => x² + (y - 5)² = 25. Centro (0, 5).

44. La parábola x = ay² + by + c se abre:

A) Hacia arriba o hacia abajo. B) Hacia la derecha o hacia la izquierda. C) Siempre hacia la derecha. D) Siempre hacia arriba.

Explicación de la respuesta correcta (B): Si la variable y está al cuadrado, la parábola es horizontal (se abre a la derecha si a>0, a la izquierda si a<0).

45. En la hipérbola x²/a² - y²/b² = 1, los vértices son:

A) (0, ±a) B) (±a, 0) C) (0, ±b) D) (±b, 0)

Explicación de la respuesta correcta (B): Como el término x² es positivo, el eje transversal es horizontal y los vértices son (±a, 0).

46. El punto (-1, 1) se encuentra en el:

A) Primer cuadrante B) Segundo cuadrante C) Tercer cuadrante D) Cuarto cuadrante

Explicación de la respuesta correcta (B): x es negativa e y es positiva.

47. La ecuación de una recta que forma un ángulo de 135° con el eje X positivo tiene pendiente:

A) 1 B) -1 C) 0 D) Indefinida

Explicación de la respuesta correcta (B): m = tan(135°) = -1.

48. Los focos de la elipse (x-3)²/25 + (y-4)²/169 = 1 están en:

A) (3, 4±12) B) (3±12, 4) C) (3, 4±5) D) (3±5, 4)

Explicación de la respuesta correcta (A): Centro (3,4). a²=169 (eje mayor vertical) => a=13. b²=25 => b=5. c² = a²-b² = 169-25 = 144 => c=12. Focos (h, k±c) = (3, 4±12).

49. El "eje focal" de una parábola es la recta que:

A) Es paralela a la directriz y pasa por el vértice. B) Pasa por el foco y es perpendicular a la directriz (coincide con el eje de simetría). C) Es tangente a la parábola en el vértice. D) Conecta dos puntos cualesquiera de la parábola.

Explicación de la respuesta correcta (B): El eje focal es el eje de simetría de la parábola, que pasa por el foco y el vértice, y es perpendicular a la directriz.

50. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje transversal horizontal de longitud 2a y eje conjugado de longitud 2b es:

A) x²/a² + y²/b² = 1 B) y²/a² - x²/b² = 1 C) x²/b² - y²/a² = 1 D) x²/a² - y²/b² = 1

Explicación de la respuesta correcta (D): Para una hipérbola con eje transversal horizontal, el término x² es positivo.